γραμμικό σύστημα

Πλήθος γραμμικών εξισώσεων που έχουν τους ίδιους αγνώστους (σε μία γραμμική εξίσωση οι άγνωστοι είναι πρώτου βαθμού και δεν υπάρχουν όροι που να περιέχουν γινόμενα των αγνώστων). Για παράδειγμα, μία γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο έχει τη μορφή αχ = β (αν α ≠0, ο αριθμός β/α θα είναι η λύση της) και ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει τη μορφή: (όπου α₁₁, α₁₂, α₂₁, α₂₂ δοσμένοι αριθμοί), ενώ ένα σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους x₁, x₂,... x_ν έχει τη μορφή: α₁₁x₁+α₁₂x₂+ ... +α_1νx_ν = β₁ α₂₁x₁ + α₂₂x₂ + ... +α_2νx_ν = β₂ ................................................... α_ν1x₁ + α_ν2x₂ + ... +α_ννx_ν = β_ν Αν παραστήσουμε με Α τον πίνακα των συντελεστών (ακλ) όπου κ,λ = 1,2,...ν, με χ το διάνυσμα (x₁, x₂,…x_ν) και με β το διάνυσμα (β₁, β₂,... β_ν), τότε το σύστημα (I) γράφεται Αx =β και έχει ακριβώς μία λύση, τότε και μόνο τότε, αν η ορίζουσα |A| ≠ 0. Η λύση του συστήματος είναι τότε (κανόνας του Κράμερ) x_κ = |A_κ| / |A|, κ = 1,2, ...ν όπου |Α_κ| η ορίζουσα που προκύπτει από την |A| αν την κ στήλη αντικαταστήσουμε με το διάνυσμα β. Στην περίπτωση ενός ομογενούς συστήματος, δηλαδή συστήματος όπου β_κ =0, για κάθε κ = 1,2, ...,v, τότε |Α_κ| = 0 και η λύση του συστήματος για |A| ≠ 0 είναι η μηδενική ή, όπως λέγεται συνήθως, η τετριμμένη. Όταν ο αριθμός των γραμμικών εξισώσεων είναι μεγάλος, τότε ο κανόνας του Κράμερ είναι ανεπαρκής για την εύρεση της λύσης του συστήματος, γιατί ο υπολογισμός των οριζουσών είναι δύσκολος. Ένας τρόπος επίλυσης των γ.σ. οφείλεται στον Γκάους και είναι γνωστός ως μέθοδος της απαλοιφής: υποθέτουμε ότι α₁₁≠0 (αν α₁₁ = 0 τότε γίνεται κατάλληλη εναλλαγή της σειράς των εξισώσεων). Διαιρούμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος (I) με α₁₁, λύνουμε ως προς x₁ και χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα για την απαλοιφή του x₁ στις άλλες εξισώσεις. Στο σύστημα των ν-1 εξισώσεων με (αγνώστους x₂, -…x_ν) που καταλήγουμε, ενεργούμε με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή διαιρούμε την πρώτη από τις εξισώσεις με τον συντελεστή του x₂ και απαλείφουμε το x₂ από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Αν ακολουθήσουμε αυτή τη διαδικασία ν φορές, καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: Με αντικατάσταση του x_ν = β’_ν στην προηγούμενη εξίσωση του (II) παίρνουμε την τιμή του x_ν-1 και, με τον ίδιο τρόπο, πηγαίνοντας προς τα πίσω, μπορούμε να πάρουμε διαδοχικά τις τιμές x_ν-2, x_ν-3, ..., x₁. Η επίλυση των γ.σ. με μεγάλο πλήθος εξισώσεων έχει ιδιαίτερη σημασία για τα προβλήματα συνοριακών τιμών ή ιδιοτιμών στις συνήθεις ή με μερικές παραγώγους διαφορικές εξισώσεις και για διάφορα προβλήματα των επιχειρησιακών ερευνών (κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους μπορούν να εμφανιστούν γ.σ. π.χ. με 100.000 αγνώστους). Τέτοια συστήματα αν επιλυθούν π.χ. με τη μέθοδο απαλοιφής του Γκάους απαιτούν και για τους πιο γρήγορους υπολογιστές τεράστιο χρόνο. Το μειονέκτημα του μεγάλου αριθμού αγνώστων μπορεί να ξεπεραστεί αν ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος πάρει ειδική μορφή, οπότε μεγάλος αριθμός των στοιχείων του είναι ίσα με 0. Το βασικό αυτό χαρακτηριστικό του πίνακα επιτρέπει τη δημιουργία καταλλήλων μεθόδων για την επίλυση, από τις οποίες κυριότερες είναι οι λεγόμενες επαναληπτικές μέθοδοι. Γραμμικό σύστημα καμπύλων του επιπέδου, που εξαρτώνται από μια παράμετρο: περιφέρειες που όλες έχουν δύο κοινά σημεία.